Matemática básica Ejemplos

$\sin (y) + \cos (y) = 1$

Paso 1

Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = {(1)}^{2}$

Paso 2

Simplifica ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ .

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Paso 2.1

Reescribe ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ como $(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y))$ .

$(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y)) = {(1)}^{2}$

Paso 2.2

Expande $(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (y) (\sin (y) + \cos (y)) + \cos (y) (\sin (y) + \cos (y)) = {(1)}^{2}$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) (\sin (y) + \cos (y)) = {(1)}^{2}$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = {(1)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $\sin (y) \sin (y)$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Eleva $\sin (y)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{1} (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = {(1)}^{2}$

Paso 2.3.1.1.2

Eleva $\sin (y)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{1} (y) \sin^{1} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = {(1)}^{2}$

Paso 2.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\sin (y)}^{1 + 1} + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = {(1)}^{2}$

Paso 2.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = {(1)}^{2}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $\cos (y) \cos (y)$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Eleva $\cos (y)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (y) \cos (y) = {(1)}^{2}$

Paso 2.3.1.2.2

Eleva $\cos (y)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (y) \cos^{1} (y) = {(1)}^{2}$

Paso 2.3.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + {\cos (y)}^{1 + 1} = {(1)}^{2}$

Paso 2.3.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = {(1)}^{2}$

Paso 2.3.2

Reordena los factores de $\sin (y) \cos (y)$ .

$\sin^{2} (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = {(1)}^{2}$

Paso 2.3.3

Suma $\cos (y) \sin (y)$ y $\cos (y) \sin (y)$ .

$\sin^{2} (y) + 2 \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = {(1)}^{2}$

Paso 2.4

Mueve $\cos^{2} (y)$ .

$\sin^{2} (y) + \cos^{2} (y) + 2 \cos (y) \sin (y) = {(1)}^{2}$

Paso 2.5

Aplica la identidad pitagórica.

$1 + 2 \cos (y) \sin (y) = {(1)}^{2}$

Paso 2.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1

Reordena $2 \cos (y)$ y $\sin (y)$ .

$1 + \sin (y) (2 \cos (y)) = {(1)}^{2}$

Paso 2.6.2

Reordena $\sin (y)$ y $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (y) \cos (y) = {(1)}^{2}$

Paso 2.6.3

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$1 + \sin (2 y) = {(1)}^{2}$

Paso 3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + \sin (2 y) = 1$

Paso 4

Mueve todos los términos que no contengan $\sin (2 y)$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (2 y) = 1 - 1$

Paso 4.2

Resta $1$ de $1$ .

$\sin (2 y) = 0$

Paso 5

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$2 y = \arcsin (0)$

Paso 6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$2 y = 0$

Paso 7

Divide cada término en $2 y = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $2 y = 0$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{0}{2}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$y = 0$

Paso 8

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$2 y = π - 0$

Paso 9

Resuelve $y$

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 y = π + 0$

Paso 9.1.2

Suma $π$ y $0$ .

$2 y = π$

Paso 9.2

Divide cada término en $2 y = π$ por $2$ y simplifica.

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Paso 9.2.1

Divide cada término en $2 y = π$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 9.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 9.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{π}{2}$

Paso 10

Obtén el período de $\sin (2 y)$ .

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Paso 10.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 10.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 10.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 11

El período de la función $\sin (2 y)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$y = π n, \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 12

Consolida las respuestas.

$y = \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13

Verifica cada una de las soluciones mediante su sustitución en $\sin (y) + \cos (y) = 1$ y resolución.

$y = \frac{π}{2} + 2 π n, 2 π n$ , para cualquier número entero $n$